[수리통계1] 1장 11강 Moment Generating Function
작성자
ksc7950
작성일
2024-05-24 12:44
조회
2138
안녕하세요. 강의를 듣던 도중 이해한 내용이 맞는 지 확인 받고 궁금한 점이 생겨 글 남깁니다.
강의 18분경, 정리42를 설명해 주시면서 MGF가 정의되는 영역은 0을 포함하는 열린 구간이기만 하면 상관없고 그 이유 또한 설명해 주셨습니다.
그 이유에 대해 제가 이해한 바로는
'두 확률변수(X&Y)에 대한 MGF가 존재할 때, 두 MGF 모두 0을 포함한 열린 구간에서 정의되기에 공통으로 겹치는 구간을 항상 잡아줄 수 있고, 만약 이 구간에서 \(M_X = M_Y\)라면 정리에 의해 X와 Y의 분포가 같기 때문에 결국 \(M_X\)와 \(M_Y\)가 정의되는 영역은 결국 같기 때문에 0을 포함한 구간이기만 하면 크게 중요하지 않다'라고 이해하였습니다. 제대로 이해한 게 맞을까요?
이 부분에서 궁금한 점이
- 상관이 없다는 말이 열린구간의 범위를 구체적으로 찾으려고 노력하지 않아도 된다는 뜻 맞나요? 아니면 그 길이와 대칭성이 상관 없다는 뜻인가요?
- 예시로 설명해 주신 부분에서 X와 Y의 분포가 같음이 확인되어 \(M_X\)와 \(M_Y\)가 정의되는 영역이 이전에 정의한 각각의 영역의 합집합으로 표현되는 것처럼 설명해 주셨는데, 이게 만약 더 넓은영역에서 정의되는 MGF 를 가진 새로운 변수Z가 있어서 이 또한 분포가 같음이 확인되면 더 넓어질 수 있나요?
- 마지막으로 0을 포함한 구간이라는 것이 (-5,0] 이처럼 0에 걸친 구간도 되나요?
긴 질문 읽어주셔서 감사합니다.
안녕하세요. 우선 MGF에 대해서 이해한 바로 적어주신 내용은 모두 맞습니다. 이후 질문들에 구체적으로 답변을 드리면:
1. MGF의 값은 어떤 구간이든 0을 포함하는 열린구간에서만 계산하면 (어떤 값인지 알면) 충분하다는 이야기입니다. 즉 \(M_X(t)\)의 값을 \(t \in (-1, 1)\)에서만 알고 있어도 충분하고 \(t \in (-0.001, 0.01)\)에서만 알고 있어도 충분합니다. 그리고 이 구간의 길이나 대칭성은 MGF에게 전혀 중요하지 않습니다.
2. 확률변수 \(X\)의 MGF \(M_X\)가 정의되는 "모든" 영역을 아래와 같이 정의해보겠습니다:
\[ I_X := \{ t \in \mathbb R: M_X(t) < \infty \}. \] 만약 확률변수 \(X\)와 \(Y\)의 분포가 같다면 (또는 \(M_X\)와 \(M_Y\)가 0을 포함하는 적당한 열린구간에서 같은 값을 가진다면) 자연스럽게 \(I_X = I_Y\)도 성립하겠습니다. 하지만 1번 문제와 관련해서 추가로 코멘트를 드리자면, \(I_X\)라는 구간을 구하기 위해서 노력할 필요는 전혀 없으며 이 구간이 크게 중요한 의미를 가지고 있지도 않습니다.
3. 0을 포함하는 "열린"구간이어야 하므로 \((-5,0]\)이라는 구간은 해당하지 않습니다. 다시 말해서 MGF의 값을 \((-5,0]\)에서만 계산하는(알고 있는) 것은 해당 MGF(또는 해당 확률변수)를 characterize하는데 충분하지 않습니다.