[수리통계1] 1장 13강 Jensen and Lyapounov Inequality
작성자
ksc7950
작성일
2024-06-03 13:35
조회
2075
안녕하세요. 강의를 듣던 도중 궁금한 점이 생겨 질문드립니다.
13강 27분 경 Lyapounov 부등식 설명에 앞서 \(\mathbb{E}|X|^s<\infty\) 라는 가정이 필요했습니다.
이후 Jensen 부등식을 이용하여 Lyapounov 부등식 증명을 위해 \(\mathbb{E}|X|^r<\infty\)를 확인하였습니다.
여기서 제가 궁금한 점은 지금 r과 s가 0<r<s를 만족하는 실수이기 때문에 \(\mathbb{E}|X|^r<\infty\)를 확인한 것이 맞나요?
뭔가 r<s이기때문에 \(\mathbb{E}|X|^r<\infty\)는 자연스럽게 따라 나올 줄 알았는데 존재함을 확인하고 넘어가서 궁금하여 여쭤봅니다.
추가적으로,
- 만약 r과 s가 0이상의 정수라면(r<s) \(\mathbb{E}|X|^s<\infty\) 이기 때문에 \(\mathbb{E}|X|^r<\infty\)는 자연스럽게 따라 나온다고 보기엔 무리가 있을까요? 만약 무리가 있다면, 그 이유에 대해 여쭤봐도 될까요?
- 가령 4번째 moment가 존재하더라도 2,3번째 moment가 존재하지 않는 경우도 있나요?
항상 친절하게 답변해주셔서 감사합니다.
안녕하세요.
1. 어떤 사고과정을 통해서 해당 논리가 자연스럽게 성립한다고 생각하시는지 확실하지는 않지만, 제 의견으로는 r과 s가 정수인 경우와 실수인 경우에 큰 차이는 없다고 생각합니다. 기본적으로 \(0 < r < s\)일 때 \(\mathbb{E}|X|^s<\infty\)에서 \(\mathbb{E}|X|^r<\infty\)가 자연스럽게 따라나오지 않는다고 생각하는 이유는 (r과 s가 정수이더라도) \(|X|^r \leq |X|^s\)이 성립하지 않기 때문입니다. 물론 제가 수업에서 증명해드린 것처럼 \(|X|^r \leq 1 + |X|^s\)은 성립하므로 적어주신 명제는 자연스럽게 성립한다고 받아들이셔도 좋습니다.
2. 그러한 경우는 존재하지 않는다는 것이 이 명제의 결과입니다. 즉 \(s\)번째 moment가 존재한다면 임의의 \(r\)번째\((r \leq s)\) moment는 항상 존재합니다.